Διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί σε αριθμητική πρόοδο

Ν. Λυγερός

Εις μνήμη του H. Dubner

Ο προβληματισμός της εύρεσης διαδοχικών πρώτων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο ανήκει σ' ένα ευρύτερο πλαίσιο της θεωρίας αριθμών που αρχίζει με το θεώρημα του Dirichlet το 1837.

Εάν a και b είναι θετικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους, τότε η αριθμητική πρόοδος a, a+b, a+2b, a+3b, …, εμπεριέχει πρώτους αριθμούς σε άπειρο πλήθος.

Η ιδέα της διαδοχικότητας αρχίζει μόνο με το έργο του van der Corput το 1939 και του Chowla το 1944, τα οποία αποδεικνύουν ότι το...
θεώρημα ισχύει για τρία διαδοχικά στοιχεία.

Πρέπει να περιμένουμε το 2004 για να αποδεχθεί από τους Green και Tao ότι υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές πρόοδοι με πρώτους αριθμούς. Το πρόβλημα είναι ότι αυτό το θεώρημα δεν επαρκεί για την αναζήτηση των διαδοχικών πρώτων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο. Και για να γίνει κατανοητή αυτή η θεμελιακή δυσκολία, αρκεί να αντιληφτούμε ότι αυτή η εικασία δεν έχει αποδεχθεί ούτε καν για 3 πρώτους τέτοιου τύπου.

Όσον αφορά στο υπολογιστικό τομέα η δυσκολία δεν είναι μικρότερη, όπως βλέπουμε από τα επόμενα ιστορικά αποτελέσματα.

Το πρώτο επίτευγμα γίνεται το 1967 από τους W.J. Blundon, M.F. Jones και M. Lal που βρίσκουν 5 διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο με τον εξής τύπο:

1010 + 24493 + 30k k=0,1,2,3,4

Την ίδια χρονιά οι L. J. Lander και T. R. Parkin βρίσκουν 6 με ένα άλλο τύπο:

121174811 + 30k, k=0,1,…..5

Για να βρεθούν 7, χρειάστηκε μια περίοδος σχεδόν 10 χρόνων μέσω μιας καινοτόμας ιδέας. Η υλοποίηση έγινε από τους H. Dubner και H. Nelson τον Αύγουστο του 1995.

Αυτό το αποτέλεσμα θα μπορούσε να παραμείνει ένα παγκόσμιο ρεκόρ για αρκετά χρόνια αν δεν είχε βρεθεί μια άλλη προσέγγιση από την ομάδα των H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, P. Zimmermann η οποία ανακάλυψε διαδοχικά 8, 9 και 10 διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο το Νοέμβριο του 1997, τον Ιανουάριο 1998 και τον Μάρτη το 1998. Από τότε δεν έχει βρεθεί ακόμα τρόπος για την ανακάλυψη των 11. Η εκτίμηση του χρόνου υπολογισμού με την ίδια μέθοδο ξεπερνά τα δισεκατομμύρια έτη και μας αναγκάζει να ψάξουμε για άλλη καινοτομία.

Opus