Ιστορικό πάνω στην έρευνα του tau(p)=0 [p]

Ν. Λυγερός

Η μελέτη μας για τη συνάρτηση Ramanujan tau(n) άρχισε με την ανάγνωση του Cours d’Arithmétique του Serre.  Μια συστηματική έρευνα πάνω στις ισοδυναμίες που ικανοποιεί αυτή τη συνάρτηση μας οδήγησε σε μια αλληλογραφία με τον συγγραφέα του πονήματος αυτού.

Εκείνος, αφού είχε εξετάσει ορισμένες από τις προτάσεις και τις υποθέσεις μας, μας υπέδειξε μερικές κατευθύνσεις έρευνας.  Η μία από αυτές αφορούσε στη μελέτη αυτής της πολύ ειδικής  ταυτότητας, δηλαδή τ(p) = 0[p], όπου p πρώτος αριθμός.  Επί πλέον, είναι ο Serre που μας δίδαξε για πρώτη φορά την ύπαρξη της λύσης 2411, ανακάλυψης του Νewman, μέσω μιας μεταγενέστερης ανταλλαγής.

Εξετάζοντας τις αναφορές σ’ αυτόν τον...
τομέα, παρατηρήσαμε ότι στο παρελθόν, οι θεωρητικοί των αριθμών σκέφτονταν πως οι λύσεις 2, 3, 5 και 7 ήταν μοναδικές.  Διαπιστώνοντας τούτη την αλλαγή θεωρητικής φάσης που προέκυψε από αυτή την αριθμητική ανακάλυψη, ενδιαφερθήκαμε για την έρευνα άλλων λύσεων και ιδιαίτερα της επόμενης.

Σε μια νέα επιστολή, ο Serre, ο οποίος είχε πληροφορηθεί για τους πρώτους μας υπολογισμούς, μας εξήγησε το νοητικό σχήμα της log-log-φιλοσοφίας, την οποία του είχε διδάξει ο Atkin. Ήταν μετά από τούτη την εξήγηση που ήρθαμε σε επαφή με τον τελευταίο, ο οποίος μας έδειξε το εύρος των ερευνών του σ’ αυτόν τον τομέα και ιδιαίτερα πάνω στη συνάρτηση Ramanujan.

Με στόχο να εμβαθύνουμε αυτόν τον τύπο τεχνικών, γενικεύσαμε τον πρόβλημά μας με τις δυνατότητες της συνάρτησης ήτα Dedekind.  Οι αρχικές μας εξερευνήσεις ήταν συμπερασματικές για τoν εκθέτη 26, μέσω μιας διαφορετικής προσέγγισης ενός προβλήματος συνθήκης από τον Serre.

Eν τω μεταξύ, σύντομα,  φτάσαμε τις υπολογιστικές ικανότητες  των ηλεκτρονικών υπολογιστών στους οποίους είχαμε πρόσβαση για να βρούμε μία άλλη μέθοδο.  Αυτή τη φορά, η αλλαγή φάσης καθορίστηκε χάρη στον Cohen και στην ανακάλυψη των πινάκων του Hurwitz.  Η προσέγγιση τούτη μάς επίτρεψε να επεκτείνουμε τους υπολογισμούς μας, μα η λύση εξακολουθoύσε  να βρίσκεται εκτός πεδίου δράσης.   

Μετάφραση από τα γαλλικά:  Σάνη Καπράγκου
Opus